INTEGRAL TAK WAJAR

Dalam kalkulus, integral takwajar adalah limit dari integral tentu dengan batas pengintegralan mendekati bilangan riil tertentu, ${\displaystyle \infty }$, ${\displaystyle -\infty }$, atau gabungan dari beberapa diantaranya. Integral takwajar dinotasikan seperti integral tentu, namun dengan batas pengintegralan tak hingga.

Dengan kata lain, integral tak wajar adalah limit dengan bentuk

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx,\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx,}$

atau

${\displaystyle \lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,dx,\quad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}$

dengan limit diambil pada salah satu atau kedua batasnya. (Apostol 1967, §10.23). Integral takwajar seringkali perlu digunakan untuk menghitung nilai integral yang tidak ada dalam arti konvensional (misalnya sebagai integral Riemann), karena adanya singularitas pada fungsi yang hendak diintegralkan, atau salah satu batas adalah takhingga.

Contoh

integral Riemann tidak dapat didefinisikan untuk fungsi ${\displaystyle 1/{x^{2}}}$ pada interval [1, ∞). Hal ini karena domain integral tersebut memiliki domain integrasi tak terbatas. Meskipun demikian, integral Riemann dapat memiliki nilai sebagai integral takwajar dengan menafsirkannya sebagai limit

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{b\to \infty }\left[-{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{1}}\right]=1.}$

Integral Riemann juga tidak dapat didefinisikan untuk fungsi ${\displaystyle 1/{\sqrt {x}}}$ pada interval [0, 1] karena integran tak terbatas pada domain integrasi. Meskipun demikian, integral tersebut dapat ditafsirkan sebagai limit

${\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx=\lim _{a\to 0^{+}}\left[2{\sqrt {1}}-2{\sqrt {a}}\right]=2.}$

Refferensi : https://id.wikipedia.org/wiki/Integral_takwajar