Koordinat Polar

 

Kalkulus dalam Koordinat Polar

a. Garis Singgung

Untuk menentukan garis singgung pada kurva polar r=f(θ), kita anggap θ sebagai parameter dan menulis persamaan parametriknya sebagai berikut:

x=rcosθ=f(θ)cosθ
y=rsinθ=f(θ)sinθ

Dengan metode penentuan kemiringan garis singgung  m pada kurva parametrik kita peroleh
m=dydx=dy/dθdx/dθ=f′(θ)sinθ+f(θ)cosθf′(θ)cosθ−f(θ)sinθ

Kurva mempunyai garis singgung horizontal di titik dengan dy/dθ=0, asalkan dx/dθ≠0. Kurva mempunyai garis singgung vertikal di titik dengan dx/dθ=0, asalkan dy/dθ≠0.

b. Luas

Untuk menurunkan rumus luas daerah yang dibatasi kurva dalam persamaan polar, kita perlu menggunakan rumus luas sektor (juring) dari suatu lingkaran dengan jari-jari r, yaitu

L=12r2θ

dengan θ adalah sudut pusat yang diukur dalam radian. Rumus ini didapat dari fakta bahwa luas sektor lingkaran adalah sebanding dengan sudut pusatnya.

Misalkan D adalah daerah yang dibatasi kurva polar r=f(θ) dan oleh dua garis θ = a dan θ = b, dimana f adalah kontinu dan tak negatif serta 0≤b−a≤2π.

Kita bagi selang [a,b] menjadi n anak selang yang sama panjang, dengan titik-titik ujung θ0,θ1,...,θn dan panjang masing-masing anak selang adalah Δθ. Dengan demikian, daerah D juga terbagi menjadi n daerah bagian, yang masing-masing memiliki sudut pusat Δθ.

Kita pilih θ∗i∈[θi−1,θi]. Jika ΔLi menyatakan luas daerah bagian ke-i, maka daerah ini dapat dihampiri dengan luas sektor lingkaran dengan jari-jari f(θ∗i) dan sudut pusat Δθ, yaitu

ΔLi=12(f(θ∗i))2Δθ
Sehingga hampiran untuk total luas daerah D adalah
L≈∫ba12(f(θ))2dθ=∫ba12r2dθ

Perhatikan bahwa jumlah di atas adalah sebuah jumlah Riemann, dan nilai hampiran akan semakin mendekati luas daerah D jika n→∞.

Akhirnya, kita peroleh rumus untuk menentukan luas daerah D sebagai berikut
L=∫ba12(f(θ))2dθ=∫ba12r2dθ

c. Panjang Kurva

Kita ingin menentukan panjang kurva dari suatu persamaan polar r=f(θ) untuk a≤θ≤b. Dengan mengasumsikan bahwa f' kontinu pada selang [a≤θ≤b], kita dapat menggunakan Teorema berikut ini untuk menentukan panjang kurva tersebut, yaitu

P=∫ba(dxdθ)2+(dydθ)2−−−−−−−−−−−−−√dθ

Karena x=rcosθ dan y=rsinθ, maka panjang kurva dari suatu persamaan polar r=f(θ) untuk a≤θ≤b dapat ditentukan sebagai berikut

P=∫bar2+(drdθ)2−−−−−−−−−√dθ