Penerapan Konsep Integral Dalam Kehidupan Sehari-hari

Penerapan Konsep Integral Dalam Kehidupan Sehari-hari

Sejauh ini sobat allmipa pasti sudah penasaran dan menjadikan misteri tentang apa sih sebenarnya tujuan kita dalam mempelajari matematika khususnya materi integral? Apakah bisa materi integral diterapkan dalam kehidupan sehari-hari? Pasti itu pertanyaan yang sering muncul dalam diri kita semua selama ini. Sobat allmipa sebagian besar merasa mempelajari integral merumitkan dan membuang-buang waktu. Akan tetapi, rasa penasaran kalian akan terobati, ini sebenarnya fungsi dan manfaat mempelajari materi matematika integral dalam kehidupan nyata, simak baik-baik:

Tujuan dan Manfaat Integral:

1. Pada Bidang Matematika

a) menentukan luas suatu bidang,

b) menentukan voluem benda putar,

c) menentukan panjang busur

2. Pada Bidang Ekonomi

a) mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya)

b) mencari fungsi biaya total

c) mencari fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal

d) Mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal,

e) fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal

f) fungsi kapital dari fungsi investasi

3. Pada Bidang Teknologi

a) Penggunaan laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu

b) Penggunaan kecepatan pesawat ulang alik Endeavour untuk menentukan ketinggian maksimum yang dicapai pada waktu tertentu

c) Memecahkan persoaalan yang berkaitan dengan volume, paanjang kurva, perkiraan populasi, keluaran kardiak, gaya pada bendungan, usaha, surplus konsumen

4. Pada Bidang Fisika

a) Untuk analisis rangkaian listrik arus AC

b) Untuk analisis medan magnet pada kumparan

c) Untuk analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung

5. Pada Bidang Teknik

Penggunaan Integral dapat membantu programmer dalam pembuatan aplikasi dari mesin-mesin yang handal. Misal: Para enginer dalam membuat desain mesin pesawat terbang

6. Pada Bidang Kedokteran

Dosimetri adalah ri radioterapi, intinya dosimetri tersebut memakai high energy ionizing radiation, salah satu contohnya yaitu sinar-X. Disini ilmu matematika khususnya integral sangat berpengaruh dalam proses pengerjaanya, dimana penembakan laser nantinya membutuhkan koordinat yang tepat. Pada integral dibahas volume benda putar dengan metode cakram, cincin, dll (dengan begini dapat mengukur volume tumor, jikalau pasca penembakan laser volume menurun, maka operasi berhasil).

Wahhh, ternyata banyak sekali ya sobat allmipa manfaat dari materi integral yang belum kita ketahui. Walaupun sebenarnya kita tahu bahwa itu ada disekitar kita. Dengan begitu kita menjadi lebih tahu manfaat sebenarnya dari materi integral tersebut dalam kehidupan sehari-hari. Namun jangan sampai pengetahuan kalian berhenti sampai disitu saja, terus gali dan cari ilmu sampai ke negeri China.

Pengertian Integral

Integral merupakan bentuk operasi matematika yang menjadi kebalikan (invers) dari operasi turunan dan limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu. Berdasarkan pengertian tersebut ada dua hal yang dilakukan dalam integral sehingga dikategorikan menjadi 2 jenis integral. Pertama, integral sebagai invers/ kebalikan dari turunan disebut sebagai Integral Tak Tentu. Kedua, integral sebagai limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu disebut integral tentu.

Integral Tak Tentu

Integral tak tentu seperti sebelumnya dijelaskan merupakan invers/kebalikan dari turunan. Turunan dari suatu fungsi, jika diintegralkan akan menghasilkan fungsi itu sendiri. Perhatikanlah contoh turunan-turunan dalam fungsi aljabar berikut ini:

Turunan dari fungsi aljabar y = x³ adalah y^I = 3x²
Turunan dari fungsi aljabar y = x³ + 8 adalah y^I = 3x²
Turunan dari fungsi aljabar y = x³ + 17 adalah y^I = 3x²
Turunan dari fungsi aljabar y = x³ – 6 adalah y^I = 3x²

Seperti yang sudah dipelajari dalam materi turunan, variabel dalam suatu fungsi mengalami penurunan pangkat. Berdasarkan contoh tersebut, diketahui bahwa ada banyak fungsi yang memiliki hasil turunan yang sama yaitu y^I= 3x². Fungsi dari variabel x³ ataupun fungsi dari variabel x³ yang ditambah atau dikurang suatu bilangan (misal contoh: +8, +17, atau -6) memiliki turunan yang sama. Jika turunan tersebut dintegralkan, seharusnya adalah menjadi fungsi-fungsi awal sebelum diturunkan. Namun, dalam kasus tidak diketahui fungsi awal dari suatu turunan, maka hasil integral dari turunan tersebut dapat ditulis:

f(x) = y = x³ + C

Dengan nilai C bisa berapapun. Notasi C ini disebut sebagai konstanta integral. Integral tak tentu dari suatu fungsi dinotasikan sebagai:

$\int f(x) dx = F(x)$

Karena integral dan turunan berkaitan, maka rumus integral dapat diperoleh dari rumusan penurunan. Jika turunan:

$\frac{d}{dx}\frac{a}{(n+1)}x^{(n+1)} = ax^n$

Maka rumus integral aljabar diperoleh:

$\int ax^n dx = \frac{a}{(n+1)}x^{n+1} + C$

dengan syarat $n \neq 1$ .

Sebagai contoh lihatlah integral aljabar fungsi-fungsi berikut:

$\int 4x^3dx=\frac{4}{(3+1)}x^{(3+1)}+ C = x^4 + C$
$\int \frac{1}{x^3}dx = \int x^{-3} dx = \frac{1}{(-3+1)}x^{-3+1}+C$
$= -\frac{1}{2}x^{-2}+C = -\frac{1}{2x^2}+C$
$\int 4x^3 - 3x^2 dx = \frac{4}{(3+1)} x^{(3+1)} + \frac{3}{(2+1)}x^{(2+1)}+C$
$= x^4+x^3+C$

Integral Trigonometri

Integral juga bisa dioperasikan pada fungsi trigonometri. Pengoperasian integral trigonometri juga dilakukan dengan konsep yang sama pada pada integral aljabar yaitu kebalikan dari penurunan. Sehingga dapat simpulkan bahwa:

No.	Fungsi f(x) = y	Turunan $\frac{dy}{dx}$	Integral
1	y = sin x	cos x	$\int \cos x dx$ = sin x
2	y = cos x	– sin x	$\int \sin x dx$ = – cos x
3	y = tan x	sec² x	$\int \sec^2 x dx$ = tan x
4	y = cot x	– csc² x	$\int \csc^2 x dx$ = – cot x
5	y = sec x	tan x . sec x	$\int \tan x . \sec x d$ = sec x
6	y = csc x	-.cot x . csc x	$\int \cot x . \csc x dx$ = – csc x

Selain rumus dasar diatas, ada rumus lain yang bisa digunakan pada pengoperasian integral trigonometri yaitu:

Fungsi f(x) = y	Turunan $\frac{dy}{dx}$	Integral
$y = \frac{1}{a} \sin(ax+b)$	cos (ax + b)	$\int \cos (ax+b) dx$ = $\frac{1}{a}$ sin (ax + b) + C
$y = - \frac{1}{a} \cos (ax + b)$	sin (ax + b)	$\int \sin (ax+b) dx$ = $-\frac{1}{a}$ cos (ax + b) + C
y = $\frac{1}{a}$ tan (ax + b)	sec² (ax + b)	$\int \sec^2(ax+b)dx$ = $\frac{1}{a}$ tan (ax + b) + C
y = $-\frac{1}{a}$ cot (ax + b)	csc² (ax + b)	$\int \csc^2(ax+b) dx$ = $- \frac{1}{a}$ cot (ax + b)
y = $-\frac{1}{a}$ sec (ax + b)	tan (ax + b) . sec (ax + b)	$\int$ (ax+b) . sec(ax + b) dx= $\frac{1}{a}$ sec (ax + b) + C
y = $-\frac{1}{a}$ csc (ax + b)	cot (ax + b) . csc (ax + b)	$\int$ cot (ax + b) . csc (ax + b) dx = $-\frac{1}{a}$ csc (ax + b)

Sifat-sifat dari integral yaitu:

$\int k. f(x) dx=k.\int f(x)dx$ (dengan k adalah konstanta)
$\int f(x)+g(x)dx =\int(x)dx+\int g(x) dx$
$\int f(x) - g(x)dx = \int f(x)dx-\int g(x) dx$

Contoh soal integral tak tentu:

Diketahui

Carilah integralnya ?

Jawab :

Contoh Integral Trigonometri:

Diketahui turunan

y = f(x) ialah = f ‘(x) = 2x + 3
Andai kurva
y = f(x) melalui titik (1, 6)
tentukan persamaan kurva tersebut.

Jawab :
f ‘(x) = 2x + 3.
y = f(x) = ʃ (2x + 3) dx = x2 + 3x + c.
Kurva melalui titik (1, 6), berarti f(1) = 6 hinggabisa di tentukan nilai c, yaitu
1 + 3 + c = 6 ↔ c = 2.
Maka, persamaan kurva yang dimaksud adalah
y = f(x) = x2 + 3x + 2

referensi: http://www.allmipa.com/2016/10/penerapan-konsep-integral-dalam.html

Cari Blog Ini

KALKULUS 2